Родился 18 июня 1976 года в г. Москве. 

В 1998 году закончил механико-математический факультет Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова (специальность Математика). С 1998 по 2001 год аспирант механико-математического факультета. Защитил работу на соискание ученой степени кандидата наук в 2001 году (01.01.06 - алгебра, логика и теория чисел). После защиты остался работать на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ. 

В 2004 году защитил работу на соискание ученой степени доктора наук (01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика). С 2001 по 2005 год ассистент, с 2005 по 2011 год доцент, а с 2011 года по настоящее время профессор механико-математического факультета МГУ. Также с 2008 года профессор факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, научный руководитель бакалавриата кафедры Анализа данных компании Яндекс. 

С 2011 года заведующий кафедрой Дискретной математики МФТИ. С 2007 года по настоящее время работает в компании Яндекс руководителем исследовательского подразделения. 

С 2012 года по настоящее время является постоянным приглашенным профессором в совместном бакалавриате Российской Экономической Школы и Высшей Школы Экономики. 

Читает также лекции в Школе Анализа Данных Яндекса и на факультете биоинженерии и биоинформатики МГУ, преподает в 179 школе МИОО, ежегодно проводит несколько летних и зимних школ для старшеклассников, занимается дистанционным образованием, с 2015 года по настоящее время сотрудничает с Бурятским Государственным Университетом. Имеет 16 защитившихся под его руководством кандидатов наук и одного доктора наук.

В 2011 году награжден премией Президента Российской Федерации в области науки и инноваций для молодых ученых за крупные достижения в ряде разделов дискретной математики и их практическое применение в информационных технологиях награжден премией Президента Российской Федерации в области науки и инноваций для молодых ученых. В числе основных научных достижений Райгородского А.М. решение классических проблем Борсука, Нелсона--Эрдеша--Хадвигера и Грюнбаума в комбинаторной геометрии, крупные продвижения в теории графов и случайных графов, их приложения в информационном поиске.

В настоящее время А.М. Райгородский активно занимается исследованиями в области комбинаторной геометрии, теории геометрических графов, случайных графов, веб-графов, теории кодирования и экстремальной комбинаторики, а также приложениями в теории и практике сложных сетей --- Интернета, социальных сетей, биологических сетей и др. 

Автор (соавтор) 130 статей в ведущих национальных и международных журналах, 5 монографиях, 5 учебниках, 10 научно-популярных книгах. Работы автора поддержаны грантами Президента Российской Федерации по поддержке молодых ученых кандидатов (1) и докторов наук (4), РФФИ (9). 

С 2011 года совместно с Н.Г. Мощевитиным издает международный журнал на английском языке Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory.